Desde Zenón hasta Cantor, la idea del infinito fue una amenaza para las matemáticas
Ya desde el mismo título empezamos a dar saltos mortales. Las palabras «breve» e «infinito» son extrañas compañeras de frase. ¿Se puede abreviar el infinito? ¿Cuál es el resultado de tal simplificación? ¿Medio infinito? ¿Existen infinitos a medias? ¿Cuántos números enteros existen?: infinitos. ¿Cuántos números pares existen?: infinitos, o sea, los mismos, puesto que si por definición nada puede ser mayor que el infinito, ningún conjunto puede ser más amplio que el de los números pares. Pero parece obvio que el conjunto de los números enteros supera al de los números pares. De ser distintos, habría que preguntarse cómo de grande es la diferencia. En este caso, el conjunto de los números impares, o sea, infinitamente grande.
Al infinito le han llamado «el gran corruptor de las matemáticas», cuanto toca lo vuelve venenoso y resbaladizo. A tal punto es un enemigo público que durante 2.500 años los propios matemáticos no han sabido muy bien qué pensar de él ni cómo tratarlo.
La animadversión hacia esta desafiante? «cosa» comenzó en el siglo V a.d. C. Entonces Zenón de Elea, célebre polemista discípulo de Parménides, enunció la paradoja de Aquiles y la tortuga: el atlético semidiós desafió a la tortuga a una carrera concediéndole cierta ventaja. Aquiles parte del punto A y el quelonio del punto B. Lo primero que debe hacer Aquiles es ir de A a B. Por rápido que se mueva, algo de tiempo debe emplear, y la tortuga, por despacio que avance, algo de camino hará en ese tiempo. Ahora Aquiles está en B y la tortuga en C, con lo que el mismo razonamiento vuelve a empezar y lo hará infinitas veces. Concluiremos que Aquiles nunca ganará (ni empatará) la carrera por pequeña que sea su desventaja inicial y por infinitamente cerca que en el transcurso de la competición llegue a estar de su rival.
Zenón, desquiciado, arguyó que no sólo el movimiento es imposible (sería ilusorio), sino que más vale no pensar en el infinito.
Eudoxo, matemático de Cnido, también luchó contra el infinito e ideó el método llamado exhaustación, que dio un respiro a la geometría. El problema de moda era el cálculo del área del círculo. La solución evidente: considerar el círculo como un polígono de infinitos lados infinitamente pequeños. Entonces el área buscada es la mitad del perímetro de ese polígono (la longitud de la circunferencia) multiplicado por su apotema (el radio de la misma). Como la longitud de una circunferencia es el doble del número Pi multiplicado por el radio, resulta que la superficie del círculo es el número Pi multiplicado por el radio elevado al cuadrado. Pero allí estaba otra vez el infinito. Aquellos lados eran infinitamente pequeños, ¿no debería ser cero su longitud? Y al sumar ceros, ¿no debería dar cero el perímetro del infinígono? Ahora bien, había infinitos lados, al sumar infinitas cosas, por pequeñas que sean, ¿no debería dar infinito el resultado? ¿Cuánto vale la suma de infinitos infinitésimos? ¿Cero o infinito? ¿Cómo puede dar un resultado intermedio, la conocida longitud, dos por Pi por el radio, de las circunferencias?
Fue el gran Arquímedes quien, usando el método de exhaustación, esquivó por una vez al infinito y, sin invocarlo, demostró la fórmula correcta para el área de un círculo.
Aun perdiendo alguna batalla, el infinito estaba ganando la guerra. Pitágoras vio con horror cómo se desmoronaba su estructura del mundo al descubrir que su propio y querido teorema demostraba la existencia de los números irracionales, poseedores de infinitos decimales aperiódicos. El dolor que causó en Pitágoras este descubrimiento fue insoportable y trató de mantenerlo en secreto. Cuenta la leyenda que mató a uno de sus discípulos por revelarlo.
Aristóteles abordó el caso y dio una solución muy en su estilo. Distinguió dos clases de infinito, el actual: existe en un cierto instante, y el potencial: su infinitud se extiende a lo largo del tiempo. Aquiles no tiene que atravesar una infinidad actual de tramos, sino una infinidad potencial, lo cual sí sería posible. Y como siempre, Aristóteles fue la ortodoxia durante 2000 años.
Tras la nada medieval, el mundo vio surgir a los gigantes. Gottfried Leibniz e Isaac Newton inauguraron el cálculo. Pero al tropezar con el infinito demostraron estar en el mismo atolladero que los griegos. Manejaban los infinitésimos tapándose las narices: ahora los consideraban entidades nulas, ahora no, según el caso. La circunferencia seguía siendo un polígono de infinitos lados infinitamente pequeños, es decir, intocable en rigor.
Hasta el siglo XIX el cálculo no salió de las cavernas. Agustin Cauchy y Karl Weierstrass desempolvaron el método de exhaustación y empezaron a dar a los matemáticos un cimiento estable.
Pero todo dragón tiene su San Jorge (y todo cerdo su San Martín). Así el infinito tuvo a Georg Cantor. Sin meternos donde no procede: un examen riguroso de las teorías de Cantor, diremos que la clave de su triunfo fue negar algo que bien parece obvio: el todo es más grande que cualquiera de sus partes. De hecho, definimos que un conjunto es infinito si no es mayor que alguna de sus partes. Cantor llegó a conclusiones que conmocionaron el pensamiento científico occidental y que, desde luego, van contra lo que podríamos llamar «sentido común del ciudadano de a pie»: no todos los infinitos son igual de grandes, ningún conjunto es tan grande como el conjunto de sus subconjuntos, no existe algo que pueda definirse como el conjunto de todos los conjuntos? Fue una manera de hablar, ya sé que el ente conocido como «ciudadano de a pie» no anda en estas cosas. Cantor terminó por idear los números transfinitos e incluso edificó una aritmética para ellos. No dejó atados todos los cabos, ni siquiera hoy lo están, pero después de Cantor los matemáticos tuvieron más fácil hacer camino y los filósofos más difícil mirarles por encima del hombro.
A lo largo del siglo XX ha habido repuntes de escepticismo entre filósofos y matemáticos al respecto de lo domado o salvaje que permanece el concepto de infinito. Uno de ellos, A. W. Moore, profesor de Oxford, qué más da si filósofo o matemático, llegó a escribir: «Podríamos afirmar que algunos infinitos son mayores que otros; y que el conjunto de los números pares es finito; incluso podríamos negar la existencia de los números pares». Y hasta hubo momentos de pesimismo ilustrado: «Sólo conozco dos cosas infinitas, el universo y la estupidez humana, y no estoy tan seguro de la primera» (Albert Einstein). Paradojas como la de Zenón han encontrado adecuada respuesta en la moderna matemática, pero ¿ha acabado la guerra entre el infinito y el intelecto del hombre o durará eterna? infinitamente?
